在数据库设计领域，Armstrong定律是一组用于推理和分析关系数据库中数据依赖（尤其是函数依赖）的重要规则。它由W. W. Armstrong于1974年提出，为关系数据库理论提供了坚实的逻辑基础，帮助数据库设计师确保数据库模式的正确性和高效性。

1. 函数依赖基础概念

在介绍Armstrong定律之前，需要先理解函数依赖的概念。假设有关系模式 (R(U))，其中 (U) 是属性集， (X) 和 (Y) 是 (U) 的子集。如果对于 (R) 的任意两个元组 (t1) 和 (t2)，只要 (t1[X] = t2[X])，就有 (t1[Y] = t2[Y])，那么称 (Y) 函数依赖于 (X)，记作 (X→Y)。例如，在学生信息表（包含学号、姓名、年龄等属性）中，学号唯一确定了学生的姓名和年龄，即“学号→姓名”，“学号→年龄”。

2. Armstrong定律内容

自反律（Reflexivity）

  • 描述：若 $(Y \subseteq X \subseteq U)$ ，则 (X → Y) 成立。这意味着一组属性总是能够函数决定它的任何子集。
  • 示例：在关系模式 $(R(A, B, C))$ 中，如果有属性集 $(X = {A, B})，(Y = {A})$，因为 $(Y$) 是 $(X$) 的子集，所以根据自反律，$(${A, B} → ${A}$) 是必然成立的。直观理解就是，当知道 (A) 和 (B) 的值时，必然也就知道 (A) 的值。

增广律（Augmentation）

  • 描述：若 (X → Y) 成立，且 $(Z \subseteq U)$，那么 $((X \cup Z) → (Y \cup Z))$ 也成立。即在函数依赖的两边同时增加相同的属性，函数依赖依然成立。
  • 示例：已知在学生选课关系模式 $(R(学号, 课程号, 成绩))$ 中，“学号 → 姓名”成立（假设姓名与学号存在一对一的函数依赖关系），若增加属性“所在班级”（记为 $(Z)$），那么“(学号, 所在班级) → (姓名, 所在班级)”也成立。这是因为学号能唯一确定姓名，当加上所在班级属性后，学号与所在班级共同依然能唯一确定姓名与所在班级。

传递律（Transitivity）

  • 描述：若 (X → Y) 和 (Y → Z) 都成立，那么 (X → Z) 也成立。它体现了函数依赖之间的传递关系。
  • 示例：在一个学校的数据库关系模式中，假设存在函数依赖“学号 → 所在系”和“所在系 → 系主任”，那么根据传递律，可以得出“学号 → 系主任”。即通过学号可以确定学生所在系，而所在系又确定了系主任，所以学号可以间接确定系主任。

3. 由Armstrong定律导出的推论

合并律（Union Rule）

  • 描述：若 (X → Y) 且 (X → Z)，则 (X → (Y \cup Z))。
  • 示例：在员工信息表关系模式 (R(员工编号, 姓名, 年龄, 部门)) 中，如果“员工编号 → 姓名”且“员工编号 → 年龄”，那么根据合并律可得“员工编号 → (姓名, 年龄)”，即员工编号可以同时确定姓名和年龄。

分解律（Decomposition Rule）

  • 描述：若 $(X → (Y \cup Z))$，那么 $(X → Y)$ 且 $(X → Z)$。它是合并律的逆过程。
  • 示例：若在关系模式中有“订单编号 → (商品名称, 商品价格)”，根据分解律，可得到“订单编号 → 商品名称”以及“订单编号 → 商品价格”，即订单编号既能确定商品名称，也能确定商品价格。

伪传递律（Pseudo - Transitivity Rule）

  • 描述：若 (X → Y) 且 $((Y \cup W) → Z)$，那么 $((X \cup W) → Z)$。
  • 示例：在一个涉及学生、课程和教师的关系模式中，已知“学生编号 → 所在班级”且“(所在班级, 课程名称) → 授课教师”，根据伪传递律可得“(学生编号, 课程名称) → 授课教师”。这是因为学生编号确定所在班级，而所在班级与课程名称共同确定授课教师，所以学生编号与课程名称共同能确定授课教师。

4. Armstrong定律的作用

  • 模式规范化：在数据库设计过程中，通过应用Armstrong定律及其推论，可以对关系模式进行规范化处理，消除数据冗余和异常，提高数据库的性能和数据完整性。例如，通过分解律和合并律，可以将复杂的关系模式分解为更简单、规范化的形式，同时保证函数依赖的正确性。
  • 依赖关系推导：帮助数据库设计师从已知的函数依赖推导出其他隐含的函数依赖，全面理解数据之间的内在联系。这对于发现数据库模式中潜在的问题以及优化数据库设计非常重要。例如，通过传递律可以发现一些间接的函数依赖关系，避免在设计中遗漏重要的约束。

Armstrong定律是数据库理论中不可或缺的一部分，它为处理函数依赖提供了一套严谨的逻辑规则，无论是在数据库设计的初期分析，还是在后期的优化和维护阶段，都发挥着关键作用。理解和掌握Armstrong定律，对于设计出高效、稳定且符合业务需求的数据库系统至关重要。